【已知两个平面向量m,n满足:对任意的a∈R,恒有m-a(m-n)的模不小于(m-n)/2的模,则()A.m的模与m-n的模相等B.m的模与n的模相等C.m的模与m+n的模相等D.m的模与2倍的n的模相等】
更新时间：2024-04-28 04:07:52
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问题描述：
已知两个平面向量m,n满足:对任意的a∈R,恒有m-a(m-n)的模不小于(m-n)/2的模,则()
A.m的模与m-n的模相等B.m的模与n的模相等
C.m的模与m+n的模相等D.m的模与2倍的n的模相等
黄大明回答：
对于任意的λ∈R,不等式恒成立,则：
取λ=0是成立的,即：|m|≥|m+n|/2成立
即：2|m|≥|m+n|
即：4|m|^2≥|m+n|^2=|m|^2+|n|^2+2m·n
即：3|m|^2-|n|^2-2|m|*|n|*cos≥0
即：cos≤(3|m|^2-|n|^2)/(2|m|*|n|)成立
(3|m|^2-|n|^2)/(2|m|*|n|)≥1时,上式恒成立
即：3|m|^2-2|m|*|n|-|n|^2≥0
即：(|m|-|n|)(3|m|+|n|)≥0
故：|m|-|n|≥0,即：|m|≥|n|
取λ=1,即：|n|≥|m+n|/2成立
即：2|n|≥|m+n|
即：4|n|^2≥|m+n|^2=|m|^2+|n|^2+2m·n
即：3|n|^2-|m|^2-2|m|*|n|*cos≥0
即：cos≤(3|n|^2-|m|^2)/(2|m|*|n|)成立
(3|n|^2-|m|^2)/(2|m|*|n|)≥1时,上式恒成立
即：3|n|^2-2|m|*|n|-|m|^2≥0
即：(|n|-|m|)(3|n|+|m|)≥0
故：|n|-|m|≥0,即：|n|≥|m|
所以只能是：|m|=|n|
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